Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Example text

Considérons le produit de sphères S 2 x S2 et l'espace projectif complexe P2(C). Soit b E S,, on définit une décomposition cellulaire (Y,) de Y = S 2 x S 2 en posant cette décomposition comporte une cellule de dimension O, deux de dimension 2 et une de dimension 4. Les différentielles du complexe associé sont nécessairement nulles, donc Ho(Y), H2(Y) et H,(Y) sont libres de rang 1, 2 et 1 respectivement, et H,(Y) = O pour n 4 { 0, 2, 4 }. On obtient une décomposition cellulaire (Zn) de P2(C) en posant l'espace P,(C) étant plongé dans P2(C) (TG, VIII, p.

On définit da manière analogue les complexes de multimodules. 10. Exemple : complexe de de Rham Dans ce numéro, on suppose que A est une k-algèbre commutative sur un anneau commutatif k. On note RA,, le A-module des k-différentielles de A (III, p. , la k-dérivation d,,,, et RAikla k-algèbre graduée A,(RAik). PROPOSITION 13. - Il existe une unique k-antidérivation d : RA, -+ RA,, de degré 1 , de carré nul, qui prolonge la dérivation d o : A -+ R'AI,. Montrons l'unicité de l'antidérivation d. Comme d 0 d = O, on a pour y, x,, ..

Supposons que (P, p) soit minimale. D'après VIII, loc. , l'homomorphisme est un isomorphisme. Il résulte alors de la suite exacte que l'homomorphisme 1 O j, : (A/r) 8 , Im d,,, -, (A/r) 8 , P, est nul ; comme d,,, = j,o6,+,, on en déduit que l,,, O d,,, = O pour n 2 0. Inversement, supposons que pour tout n 2 1, 1 0 d, soit nul, autrement dit que Im d, = Ker d,-, soit contenu dans rP,-,. Puisque 6,-, est surjectif, il résulte de VIII, loc. cit. que 6,-, est une couverture projective pour n >, 1, donc que (P, p) est minimale.

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